سری فیبوناچی که از نام ریاضیدان ایتالیایی به نام لئوناردو پیزانو بوگولو، که بعداً به نام فیبوناچی شناخته شد، نامگذاری شد، مجموعه‌ای است (جمع) که با اعداد فیبوناچی تشکیل شده است که با F نشان داده می‌شوند.n. اعداد در دنباله فیبوناچی به صورت زیر داده می شوند: 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 38، ... در سری فیبوناچی، هر جمله مجموع دو جمله قبلی است که از 0 و 1 به عنوان جمله های اول و دوم شروع می شود. در برخی از منابع قدیمی، ممکن است اصطلاح "0" حذف شود.
ما کاربردهای سری فیبوناچی را در اطراف خود در زندگی روزمره خود می یابیم. همچنین در تنظیمات بیولوژیکی مانند شاخه‌بندی درختان، الگوهای گلبرگ‌ها در گل‌ها و غیره یافت می‌شود. اجازه دهید فرمول سری فیبوناچی، خواص و کاربردهای آن را در بخش‌های بعدی بدانیم.
| 1. | سری فیبوناچی چیست؟ |
| 2. | فرمول سری فیبوناچی |
| 3. | لیست سری فیبوناچی |
| 4. | ویژگی های سری فیبوناچی |
| 5. | سری فیبوناچی و نسبت طلایی |
| 6. | سری فیبوناچی و مثلث پاسکال |
| 7. | کاربردهای سری فیبوناچی |
| 8. | سوالات متداول در مورد سری فیبوناچی |
سری فیبوناچی چیست؟
سری فیبوناچی دنباله ای از اعداد است (که اعداد فیبوناچی نیز نامیده می شود)، که در آن هر عدد حاصل جمع دو عدد قبلی است، به طوری که دو جمله اول "0" و "1" هستند. در برخی از نسخه‌های قدیمی‌تر این سری، ممکن است عبارت «۰» حذف شود. بنابراین یک سری فیبوناچی را می توان به صورت 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، ... بنابراین می توان مشاهده کرد که هر جمله را می توان با جمع دو جمله قبل از آن محاسبه کرد.
با توجه به ترم اول، F0و ترم دوم، F1به عنوان "0" و "1"، عبارت سوم در اینجا می تواند به صورت F داده شود2= 0 + 1 = 1
بنابراین، برای نشان دادن هر (n+1) امین جمله در این سری، می‌توانیم عبارت F را ارائه کنیمn = Fn-1 + Fn-2. بنابراین می توانیم یک سری فیبوناچی را همانطور که در تصویر زیر نشان داده شده است نشان دهیم.
فرمول سری فیبوناچی
از فرمول سری فیبوناچی در ریاضیات می توان برای یافتن عبارات گمشده در یک سری فیبوناچی استفاده کرد. فرمول برای یافتن (n+1) امین جمله در دنباله با استفاده از فرمول بازگشتی تعریف می شود، به طوری که F0= 0، F1= 1 برای دادن Fn.
فرمول فیبوناچی به صورت زیر ارائه شده است.
مارپیچ سری فیبوناچی
مارپیچ فیبوناچی نمایش الگوی تشکیل شده توسط اعداد فیبوناچی در یک شبکه است. مارپیچ سری فیبوناچی در صفحه ای به شکل مستطیل شروع می شود که ابعاد آن (طول × عرض) از اصل "نسبت طلایی" (≈1. 618) پیروی می کند و به همین دلیل به آن "مستطیل طلایی" می گویند. تصویر زیر مارپیچ فیبوناچی را نشان می دهد که با یک مستطیل تقسیم شده به 2 مربع شروع می شود. مارپیچ فیبوناچی تقریبی از مارپیچ طلایی است.
لیست سری فیبوناچی
هر جمله از یک سری فیبوناچی مجموع دو عبارت قبل از آن است، با توجه به اینکه این سری از «0» و «1» شروع می شود. ما می توانیم از این برای یافتن اصطلاحات موجود در مجموعه استفاده کنیم. 20 عدد اول یک سری فیبوناچی در زیر در لیست سری فیبوناچی آورده شده است.
| F0 = 0 | F10= 55 |
| F1 = 1 | F11= 89 |
| F2 = 1 | F12= 144 |
| F3 = 2 | F13= 233 |
| F4 = 3 | F14= 377 |
| F5 = 5 | F15= 610 |
| F6 = 8 | F16= 987 |
| F7= 13 | F17= 1597 |
| F8= 21 | F18= 2584 |
| F9= 34 | F19= 4181 |
☛ همچنین بررسی کنید: می توانید از ماشین حساب فیبوناچی استفاده کنید که به محاسبه عبارت های سری فیبوناچی کمک می کند.
ویژگی های سری فیبوناچی
خواص بسیار جالبی در رابطه با سری فیبوناچی وجود دارد. آنها در زیر آورده شده اند،
- مجموع (در نماد سیگما) تمام اصطلاحات در این سری به صورت Σ داده می شودj=0n Fj = Fn+2- 1.
- مجموع تمام اعداد فیبوناچی با شاخص زوج در این سری به صورت Σ داده می شودj=1n F2j = F2 + F4 + . . . + F2n = F2n+1- 1.
- مجموع تمام اعداد فیبوناچی شاخص فرد در این سری به صورت Σ داده می شودj=1n F2j-1 = F1 + F3 + . . . + F2n-1 = F2n.
- اعداد موجود در یک سری فیبوناچی مربوط به نسبت طلایی است. هر شماره فیبوناچی را می توان با استفاده از نسبت طلایی با استفاده از فرمول ، F محاسبه کردn= (φ n - ( 1-φ) n)/√5 ، در اینجا φ نسبت طلایی است. به عنوان مثال: برای یافتن دوره هفتم ، ما را اعمال می کنیم6= (1. 618034 6 - (1-1. 618034) 6)/√5 ≈ 8.
- همانطور که در خاصیت قبلی بحث کردیم ، می توانیم نسبت طلایی را با استفاده از نسبت شماره های فیبوناچی متوالی محاسبه کنیم. برای 2 شماره فیبوناچی متوالی ، به عنوان ، fn+1و fn، مقدار φ را می توان به عنوان ، lim محاسبه کردn→∞ Fn+1/Fn.
ما این رابطه بین سری فیبوناچی و نسبت طلایی را با جزئیات در بخش بعدی درک خواهیم کرد.
سری فیبوناچی و نسبت طلایی
در ریاضیات ، سری فیبوناچی و نسبت طلایی از نزدیک به هم وصل می شوند. سری Fibonacci به عنوان ، 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55 ، 89 ، 144 ، 233 ، 377 ، 610 ، 987 ،. عبارت زیر ارتباط بین هر دو ویژگی را توضیح می دهد. fn= (φ n - ( 1-φ) n)/√5 ، جایی که φ نسبت طلایی است.
نسبت طلایی به عنوان محدودیت نسبت اصطلاحات پی در پی سری فیبوناچی (یا هر دنباله ای شبیه به فیبوناچی) بیان شده است ، همانطور که توسط کپلر در عبارت ذکر شده در زیر نشان داده شده است ، φ = limn→∞ Fn+1/Fn.
به عبارت دیگر ، اگر یک عدد فیبوناچی توسط سلف فوری آن در سری فیبوناچی داده شده تقسیم شود ، این مقدار φ را تقریب می دهد. این دقت این مقدار با افزایش ارزش "N" ، یعنی با نزدیک شدن به N به بی نهایت افزایش می یابد. ما همچنین در بخش قبلی بحث کرده ایم که چگونه یک مارپیچ فیبوناچی یک مارپیچ طلایی را تقریبی می کند.
سری فیبوناچی و مثلث پاسکال
روش جالب دیگری که برای یافتن اعداد در یک سری فیبوناچی استفاده می شود ، مثلث پاسکال است. مثلث پاسکال ، در ریاضیات ، یک آرایه مثلثی است که شامل ضرایب دوتایی است. در یک سری فیبوناچی ، با محاسبه مجموع عناصر در خطوط مورب در حال افزایش در مثلث پاسکال می توان اعداد فیبوناچی را بدست آورد. ما می توانیم این را در شکل زیر مشاهده کنیم ، با توجه به عنصر اول "0" ، اصطلاحات زیر را می توان با جمع بندی عناصر مورب همانطور که در زیر آورده شده است محاسبه کنید.
کاربردهای سری فیبوناچی
سری Fibonacci در زندگی روزانه ما در زمینه های مختلف کاربردی پیدا می کند. الگوهای مختلف موجود در تعداد متنوعی از زمینه ها از طبیعت ، موسیقی ، و بدن انسان از سری فیبوناچی پیروی می کند. برخی از کاربردهای این سریال به عنوان ،
- در گروه بندی اعداد استفاده می شود و برای مطالعه توالی های مختلف ریاضی دیگر استفاده می شود.
- این برنامه را در برنامه نویسی (الگوریتم های رایانه ، سیستم های توزیع شده و غیره) پیدا می کند. به عنوان مثال ، سری Fibonacci در تجزیه و تحلیل زمان محاسباتی الگوریتم اقلیدس ، که برای تعیین GCF از دو عدد صحیح استفاده می شود ، مهم هستند.
- این در زمینه های علمی متعددی مانند مکانیک کوانتومی ، رمزنگاری و غیره اعمال می شود.
- در معاملات بازار مالی ، سطح اصلاح فیبوناچی به طور گسترده ای در تجزیه و تحلیل فنی استفاده می شود.
☛ مباحث مرتبط:
بگذارید مفهوم سری فیبوناچی را با استفاده از نمونه های حل شده زیر بهتر درک کنیم.
نمونه هایی از سری فیبوناچی
مثال 1: اگر شرایط هشتم و 9 به ترتیب 13 و 21 باشد ، دوره دهم سری فیبوناچی را پیدا کنید.
راه حل:
ما می دانیم که دوره دهم مبلغ هشتم و دوره 9 است.
ترم 10 = هشتم ترم + دوره 9
پاسخ: دوره دهم 34 است.
مثال 2: در صورت ترم هفدهم در سری فیبوناچی 987 است. اصطلاح بعدی را پیدا کنید.
راه حل:
ما می دانیم که اصطلاح 18th = 17 ترم × نسبت طلایی.
F18= 987 × 1. 618034
پاسخ: ترم هفدهم 1597 است.
مثال 3: با استفاده از فرمول سری فیبوناچی، مقدار عبارت های 21 و 22 را با توجه به اینکه عبارت های 19 و 20 در سری 2584 و 4181 هستند، بیابید.
راه حل
با استفاده از فرمول سری فیبوناچی می توان گفت که جمله 21 حاصل جمع ترم 19 و ترم 20 است.
ترم 21 = ترم 19 + ترم 20 = 2584 + 4181 = 6765
اکنون، ترم 22 = ترم 20 + ترم 21 = 6765 + 4181 = 10946
پاسخ: ترم های 21 و 22 6765 و 10946 هستند.
با افراط در یادگیری تک تک، احتمالاً مفاهیم را فراموش خواهید کرد. با Cuemath، به صورت بصری یاد خواهید گرفت و از نتایج شگفت زده خواهید شد.
